maxwellsche Gleichungen

maxwellsche Gleichungen

 

['mækswəl-; nach J. C. Maxwell], die für die klassische Elektrodynamik grundlegenden Gleichungen der maxwellschen Theorie der elektromagnetischen Erscheinungen im Vakuum und in ruhenden Medien. Sie verknüpfen die elektrischen Feldgrößen (E elektrische Feldstärke, D elektrische Fluss- oder Verschiebungsdichte) und die magnetischen Feldgrößen (H magnetische Feldstärke, B magnetische Flussdichte) miteinander sowie mit der elektrischen Ladungsdichte ρ und der elektrischen Stromdichte j. Sie lauten in Differenzialform (in SI-Einheiten)

 

Der Punkt über den Größen bedeutet die partielle Ableitung ∂/∂t nach der Zeit. Durch Integration über ein von der Fläche F eingeschlossenes Volumen V (Gleichungen 1 und 4) beziehungsweise über eine von der Kurve Γ berandete Fläche F (Gleichungen 2 und 3) und Anwendung des gaußschen beziehungsweise des stokesschen Integralsatzes erhält man die maxwellschen Gleichungen in Integralform:

 

Dabei ist der die Fläche F durchsetzende elektrische Strom, der elektrische Verschiebungsstrom und die elektrische Ladung.

 

Während im Vakuum wegen der Beziehungen D = ε₀E und B = μ₀H (ε₀, μ₀ elektrische und magnetische Feldkonstante) für die Beschreibung der elektromagnetischen Felder die Angabe je einer elektrischen und magnetischen Feldgröße ausreicht, müssen bei Einbeziehung materieller Körper in die Beschreibung alle vier Feldgrößen angegeben werden. Diese werden durch die Materialgleichungen miteinander verknüpft:

 

Dabei ist P die elektrische und J die magnetische Polarisation. Für den Fall homogener, isotroper und in den eingeprägten Feldern E und H elektromagnetisch linearer Medien ergeben sich die einfacheren Beziehungen

 

aus denen in Verbindung mit den zuvor genannten

 

folgt. Dabei ist ε_r die Permittivitätszahl, μ_r die Permeabilitätszahl, χ_e die elektrische und χ_m die magnetische Suszeptibilität des betreffenden Mediums. Wenn dieses Medium elektrisch leitend ist, gilt außerdem das ohmsche Gesetz j = σE mit σ als elektrische Leitfähigkeit, dessen Integration über das Volumen des Leiters die bekannte Form I = U / R ergibt (U elektrische Spannung, R elektrischer Widerstand).

 

Aus den in den Feldgrößen homogenen maxwellschen Gleichungen 3 und 4 folgt, dass man B und E durch Potenziale, das elektrische Potenzial ϕ und das Vektorpotenzial A, darstellen kann, :

 

Diese Potenziale erfüllen die inhomogenen Wellengleichungen

 

in denen die Ausbreitungsgeschwindigkeit c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.

 

Aus den maxwellschen Gleichungen 1 und 2 folgt die Kontinuitätsgleichung + div j = 0 für die elektrische Ladung. Die Gleichungen 1 und 1a sind dem coulombschen Gesetz äquivalent, die Gleichungen 2 und 2a umfassen das ampèresche Gesetz und das ampèresche Verkettungsgesetz (Durchflutung), die Gleichungen 3 und 3a ergeben sich aus dem faradayschen Induktionsgesetz, und die Gleichungen 4 und 4a bringen zum Ausdruck, dass die magnetische Flussdichte quellenfrei ist, dass es also keine magnetischen Ladungen (Monopole) gibt.

 

Die maxwellschen Gleichungen der Elektrostatik sind die Gleichungen 1 und 3 oder 1a und 3a, mit Ḃ = 0; die der Magnetostatik die Gleichungen 2 und 4 oder 2a und 4a, mit Ḋ = 0. Das Gleichungssystem des elektromagnetischen Feldes im Vakuum erhält man durch Nullsetzen der Ladungsdichte ρ und der Stromdichte j; aus ihm ergeben sich die homogenen Wellengleichungen div grad E — ε_rμ₀Ë = 0 und div grad H — ε₀μ₀Ḧ = 0, aus denen folgt, dass (ε₀μ₀)^-1/2 die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen ist, also c.

 

Aufgrund der Gleichungen für die Lorentz-Kraft und der ihr entsprechenden Gleichung für die Kraftdichte, f = ρE + j × B, lassen sich die Feldgrößen E und B durch die Kräfte bestimmen, die sie auf elektrische Ladungen beziehungsweise Ströme ausüben. E und B werden daher häufig als die eigentlichen Feldgrößen angesehen, von denen D und H abgeleitet sind.